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山体彩化图:2019年中考数学模试试题3(含答案解析)

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中考数学模试卷
一、选择题(本大题共14小题,每小题3分,共42分)
1.(3分)4的倒数的相反数是( ?。?br />A.﹣4    B.4    C.    D.
2.(3分)习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想,意味着每年要减贫约11700000人,将数据11700000用科学记数法表示为( ?。?br />A.1.17×106    B.1.17×107    C.1.17×108    D.11.7×106
3.(3分)在一次数学测试中,某学校小组6名同学的成绩(单位:分)分别为65,82,86,82,76,95,关于这组数据,下列说法错误的是( ?。?br />A.众数是82    B.中位数是82    C.方差8.4    D.平均数是81
4.(3分)如图,若要添加一条线段,使之既是轴对称图形又是中心对称图形,正确的添加位置是( ?。?br />
A.    B.    C.    D.
5.(3分)下列运算正确的是( ?。?br />A.a6+a3=a9    B.a2•a3=a6    C.(2a)3=8a3    D.(a﹣b)2=a2﹣b2
6.(3分)如图,是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具,如果用下列几何体作为塞子,那么既可以堵住方形空洞,又可以堵住圆形空洞的几何体是( ?。?br />
A.    B.    C.    D.
7.(3分)如图,直线l1∥l2,且分别与△ABC的两边AB、AC相交,若∠A=45°,∠1=65°,则∠2的度数为( ?。?br />
A.45°    B.65°    C.70°    D.110°
8.(3分)如图,△ABC中,AB=AC,BC=12cm,点D在AC上,DC=4cm,将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF,点E、F分别落在边AB、BC上,则△EBF的周长是( ?。ヽm.

A.7    B.11    C.13    D.16
9.(3分)不等式组的解集为x<2,则k的取值范围为( ?。?br />A.k>1    B.k<1    C.k≥1    D.k≤1
10.(3分)如图,分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边,延长线相交于点F、C,若∠F=27°,∠A=53°,则∠C的度数为( ?。?br />
A.30°    B.43°    C.47°    D.53°
11.(3分)二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格:
x    …    ﹣3    ﹣2    ﹣1    0    1    …
y    …    ﹣3    ﹣2    ﹣3    ﹣6    ﹣11    …
则该函数图象的顶点坐标为( ?。?br />A.(﹣3,﹣3)    B.(﹣2,﹣2)    C.(﹣1,﹣3)    D.(0,﹣6)
12.(3分)已知点 A(﹣1,1),B(1,1),C(2,4)在同一个函数图象上,这个函数图象可能是( ?。?br />A.    B.    C.    D.
13.(3分)如图,四边形ABCD、CEFG都是正方形,点G在线段CD上,连接BG,DE和FG相交于点O.设AB=a,CG=b(a>b).下列结论:①△BCG≌△DCE;②BG⊥DE;③=;④(a﹣b)2•S△EFO=b2•S△DGO.其中结论正确的个数是( ?。?br />
A.4个    B.3个    C.2个    D.1个
14.(3分)如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:
①a﹣b+c>0;
②3a+b=0;
③b2=4a(c﹣n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根.
其中正确结论的个数是( ?。?br />
A.1    B.2    C.3    D.4
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15.(3分)分解因式:a2b+2ab2+b3=    ?。?br />16.(3分)在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球,这些球除颜色外完全相同,其中有5个黄球,4个蓝球.若随机摸出一个蓝球的概率为,则随机摸出一个红球的概率为    ?。?br />17.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE,则BC扫过的面积为    ?。?br />
18.(3分)如图,已知点A(1,0),B(0,2),以AB为边在第一象限内作正方形ABCD,直线CD与y轴交于点G,再以DG为边在第一象限内作正方形DEFG,若反比例函数y=的图象经过点E,则k的值是    ?。?br />
19.(3分)规定:[x]表示不大于x的最大整数,(x)表示不小于x的最小整数,[x)表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数),例如:[2.3]=2,(2.3)=3,[2.3)=2.当﹣1<x<1时,化简[x]+(x)+[x)的结果是    ?。?br /> 
三、解答题(本大题共7小题,共计63分)
20.(6分)+()﹣1﹣﹣|﹣2|
21.(7分)某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况,随机抽取该年级部分男生进行了一次测试(满分15分,成绩均记为整数分),并按测试成绩(单位:分)分成四类:A类(12≤m≤15),B类(9≤m≤11),C类(6≤m≤8),D类(m≤5)绘制出以下两幅不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:
(1)本次抽取样本容量为     ,扇形统计图中A类所对的圆心角是     度;
(2)请补全统计图;
(3)若该校九年级男生有300名,请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有多少名?

22.(7分)如图,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°,看这栋高楼底部C的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离AD为20m,求这栋楼的高度.(结果保留根号)

23.(9分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC为直径,=,BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证:∠1=∠BCE;
(2)求证:BE是⊙O的切线;
(3)若EC=1,CD=3,求cos∠DBA.

24.(10分)甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴出发地480千米的目的地,乙车比甲车晚出发2小时(从甲车出发时开始计时),图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系对应的图象(线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修),请根据图象所提供的信息,解决如下问题:
(1)求乙车所行路程y与时间x的函数关系式;
(2)求两车在途中第二次相遇时,它们距出发地的路程;
(3)乙车出发多长时间,两车在途中第一次相遇?(写出解题过程)

25.(11分)(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.

26.(13分)如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x﹣2交于B,C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求△ABC的面积;
(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共14小题,每小题3分,共42分)
1.
【考点】17:倒数;14:相反数.
【分析】先求出4的倒数,再根据相反数即可解答.
【解答】解:4的倒数是,的相反数﹣,
故?。篊.
【点评】本题考查了倒数和相反数,解决本题的关键是熟记相反数,倒数的定义.
 
2.
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
【解答】解:11700000用科学记数法表示为1.17×107,
故?。築.
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
 
3.
【考点】W7:方差;W1:算术平均数;W4:中位数;W5:众数.
【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义,结合数据进行分析即可.
【解答】解:将数据重新排列为65、76、82、82、86、95,
A、数据的众数为82,此选项正确;
B、数据的中位数为=82,此选项正确;
C、数据的平均数为=81,
所以方差为×[(65﹣81)2+(76﹣81)2+2×(82﹣81)2+(86﹣81)2+(95﹣81)2]=84,此选项错误;
D、由C选项知此选项正确;
故?。篊.
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数、方差,中位数是将一组数据从小到大(或从大到?。┲匦屡帕泻?,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,众数是一组数据中出现次数最多的数据.
 
4.
【考点】R5:中心对称图形;P3:轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形;
B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形;
C、不是轴对称图形,也不是中心对称图形;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形.
故?。篈.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形的关键是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
 
5.
【考点】47:幂的乘方与积的乘方;35:合并同类项;46:同底数幂的乘法;4C:完全平方公式.
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方与完全平方公式逐一计算可得.
【解答】解:A、a6与a3不是同类项,不能合并,此选项错误;
B、a2•a3=a5,此选项错误;
C、(2a)3=8a3,此选项正确;
D、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,此选项错误;
故?。篊.
【点评】本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方与完全平方公式.
 
6.
【考点】U1:简单几何体的三视图.
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.
【解答】解:圆柱从上边看是一个圆,从正面看是一个矩形,既可以堵住方形空洞,又可以堵住圆形空洞,
故?。築.
【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图,从上边看得到的图形是俯视图.
 
7.
【考点】JA:平行线的性质.
【分析】根据平行线的性质求出∠AEF,根据三角形内角和定理求出∠AFE,即可得出答案.
【解答】解:如图,∵直线l1∥l2,∠1=65°,
∴∠AEF=∠1=65°,
∵∠A=45°,
∴∠2=∠AFE=180°﹣∠A﹣∠AEF=70°,
故?。篊.

【点评】本题考查了平行线的性质,三角形的内角和定理,对顶角相等的应用,解此题的关键是求出∠AEF的度数,注意:两直线平行,同位角相等.
 
8.
【考点】Q2:平移的性质;KH:等腰三角形的性质. 
【分析】直接利用平移的性质得出EF=DC=4cm,进而得出BE=EF=4cm,进而求出答案.
【解答】解:∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF,
∴EF=DC=4cm,FC=7cm,
∵AB=AC,BC=12cm,
∴∠B=∠C,BF=5cm,
∴∠B=∠BFE,
∴BE=EF=4cm,
∴△EBF的周长为:4+4+5=13(cm).
故?。篊.
【点评】此题主要考查了平移的性质,根据题意得出BE的长是解题关键.
 
9.
【考点】CB:解一元一次不等式组.
【分析】求出每个不等式的解集,根据已知得出关于k的不等式,求出不等式的解集即可.
【解答】解:解不等式组,得

∵不等式组的解集为x<2,
∴k+1≥2,
解得k≥1.
故?。篊.
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用,解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式,难度适中.
 
10.
【考点】M6:圆内接四边形的性质.
【分析】先根据三角形外角性质∠CBD=∠A+∠F=80°,根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠BDE=180°,求得∠BDE=180°﹣53°=127°,根据三角形的外角的性质即可得到结论.
【解答】解:∵∠A=53°,∠F=27°,
∴∠CBD=∠A+∠F=80°,
∵∠A+∠BDE=180°,
∴∠BDE=180°﹣53°=127°,
∵∠BDE=∠C+∠CBD,
∴∠C=127°﹣80°=47°.
故?。篊.
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.也考查了三角形外角性质.
 
11.
【考点】H5:二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴,然后解答即可.
【解答】解:∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3,相等,
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2,
∴顶点坐标为(﹣2,﹣2).
故?。築.
【点评】本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的对称性,仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键.
 
12.
【考点】E6:函数的图象.
【分析】由点 A(﹣1,1),B(1,1),C(2,4)在同一个函数图象上,可得A与B关于y轴对称,当x>0时,y随x的增大而增大,继而求得答案.
【解答】解:∵A(﹣1,1),B(1,1),
∴A与B关于y轴对称,故C,D错误;
∵B(1,1),C(2,4),当x>0时,y随x的增大而增大,
而B(1,1)在直线y=x上,C(2,4)不在直线y=x上,所以图象不会是直线,故A错误;故B正确.
故?。築.
【点评】此题考查了函数的图象.注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键.
 
13.
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;KB:全等三角形的判定;LE:正方形的性质. 
【分析】由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,根据正方形的性质,即可得BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE;然后延长BG交DE于点H,根据全等三角形的对应角相等,求得∠CDE+∠DGH=90°,则可得②BH⊥DE;由△DGO与△DCE相似即可判定③错误,证明△EFO∽△DGO,即可求得④正确;即可得出结论.
【解答】解:①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,
∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,CD∥EF,
∴∠BCG=∠DCE.
在△BCG和△DCE中,,
∴△BCG≌△DCE(SAS),
故①正确;
②延长BG交DE于点H,如图所示:
∵△BCG≌△DCE,
∴∠CBG=∠CDE,
又∵∠CBG+∠BGC=90°,
∴∠CDE+∠DGH=90°,
∴∠DHG=90°,
∴BH⊥DE;
∴BG⊥DE.
故②正确;
③∵四边形GCEF是正方形,
∴GF∥CE,
∴,
是错误的.
故③错误;
④∵DC∥EF,
∴△EFO∽△DGO,
∴=()2=()2=,
∴(a﹣b)2•S△EFO=b2•S△DGO.
故④正确;
正确的有3个,故?。築.

【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质,综合性较强,掌握三角形全等、相似的判定和性质是解题的关键.
 
14.
【考点】H4:二次函数图象与系数的关系.
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣2,0)和(﹣1,0)之间,则当x=﹣1时,y>0,于是可对①进行判断;利用抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,即b=﹣2a,则可对②进行判断;利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n,则可对③进行判断;由于抛物线与直线y=n有一个公共点,则抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点,于是可对④进行判断.
【解答】解:∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣2,0)和(﹣1,0)之间.
∴当x=﹣1时,y>0,
即a﹣b+c>0,所以①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,即b=﹣2a,
∴3a+b=3a﹣2a=a,所以②错误;
∵抛物线的顶点坐标为(1,n),
∴=n,
∴b2=4ac﹣4an=4a(c﹣n),所以③正确;
∵抛物线与直线y=n有一个公共点,
∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点,
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根,所以④正确.
故?。篊.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大?。旱盿>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c):抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15.
【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用. 
【分析】先提取公因式,再利用公式法把原式进行因式分解即可.
【解答】解:原式=b(a+b)2.
故答案为:b(a+b)2.
【点评】本题考查的是提公因式法与公式法的综合运用,熟记完全平方公式是解答此题的关键.
 
16.
【考点】X3:概率的意义.
【分析】设红球有x个,根据摸出一个球是蓝球的概率是,得出红球的个数,再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率.
【解答】解:∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球,三种球除颜色外其他完全相同,其中有5个黄球,4个蓝球,
随机摸出一个蓝球的概率是,
设红球有x个,
∴=,
解得:x=3
∴随机摸出一个红球的概率是:=.
故答案为:.
【点评】此题主要考查了概率公式的应用,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.得到所求的情况数是解决本题的关键.
 
17.
【考点】MO:扇形面积的计算;KO:含30度角的直角三角形;R2:旋转的性质. 
【分析】根据题意可以求得AC和AB的长,然后根据旋转的性质即可求得BC扫过的面积.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,
∴AB=4,AC=2,[来源:Zxxk.Com]
∴BC扫过的面积为:=π,
故答案为:π.
【点评】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、旋转的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
 
18.
【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征;G4:反比例函数的性质;LE:正方形的性质。
【分析】作EH⊥x轴于H,求出AB的长,根据△AOB∽△BCG,求出DG的长,再根据△AOB∽△EHA,求出AE的长,得到答案.
【解答】解:作EH⊥x轴于H,

∵OA=1,OB=2,
由勾股定理得,AB=,
∵AB∥CD,
∴△AOB∽△BCG,
∴CG=2BC=2,
∴DG=3,AE=4,
∵∠AOB=∠BAD=∠EHA=90°,
∴△AOB∽△EHA,
∴AH=2EH,
又AE=4,
∴EH=4,AH=8,
∴点E的坐标为(9,4),
则k=36,
故答案为:36.
【点评】本题考查的是正方形的性质和反比例函数图象上点的特征,运用相似三角形求出图中直角三角形两直角边是关系是解题的关键,解答时,要认真观察图形,找出两正方形边长之间的关系.
 
19.
【考点】18:有理数大小比较.
【分析】分五种情况讨论x的范围:①﹣1<x<﹣0.5,②﹣0.5<x<0,③x=0,④0<x<0.5,⑤0.5<x<1即可得到答案.
【解答】解:①﹣1<x<﹣0.5时,
[x]+(x)+[x)=﹣1+0﹣1=﹣2;
②﹣0.5<x<0时,
[x]+(x)+[x)=﹣1+0+0=﹣1;
③x=0时,
[x]+(x)+[x)=0+0+0=0;
④0<x<0.5时,
[x]+(x)+[x)=0+1+0=1;
⑤0.5<x<1时,
[x]+(x)+[x)=0+1+1=2.
故答案为:﹣2或﹣1或0或1或2.
【点评】本题考查了学生对[x]表示不大于x的最大整数,(x)表示不小于x的最小整数,[x)表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数)的理解,难度适中,解此题的关键是分类讨论思想的应用.
 
三、解答题(本大题共7小题,共计63分)
20.
【考点】2C:实数的运算;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案.
【解答】解:原式=2+2﹣﹣(2﹣)
=2+2﹣(2+)﹣2+
=2+2﹣2﹣﹣2+
=2﹣2.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
 
21.
【考点】VC:条形统计图;V3:总体、个体、样本、样本容量;V5:用样本估计总体;VB:扇形统计图.
【分析】(1)根据统计图可以得到抽查的学生数,从而可以求得样本容量,由扇形统计图可以求得扇形圆心角的度数;
(2)根据统计图可以求得C类学生数和C类与D类所占的百分比,从而可以将统计图补充完整;
(3)根据统计图可以估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有多少名.
【解答】解:(1)由题意可得,
抽取的学生数为:10÷20%=50,
扇形统计图中A类所对的圆心角是:360°×20%=72°,
故答案为:50,72;
(2)C类学生数为:50﹣10﹣22﹣3=15,
C类占抽取样本的百分比为:15÷50×100%=30%,
D类占抽取样本的百分比为:3÷50×100%=6%,
补全的统计图如右图所示,
(3)300×30%=90(名)
即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有90名.

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用本估计总体,解题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
 
22.
【考点】TA:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】在Rt△ABD中,求出BD,在Rt△ACD中,求出CD,二者相加即为楼高BC
【解答】解:在Rt△ABD中,∠BDA=90°,∠BAD=45°,
∴BD=AD=20.
在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=60°,
∴CD=AD=20.
∴BC=BD+CD=20+20(m).
答:这栋楼高为(20+20)m.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题,将原三角形转化为两个直角三角形是解题的关键.
 
23.
【考点】ME:切线的判定与性质;M5:圆周角定理;T7:解直角三角形.
【分析】(1)过点B作BF⊥AC于点F,易证△ABF≌△DBE(AAS),所以BF=BE,从而可证明∠1=∠BCE;
(2)连接OB,易证∠BAC=∠EBC,由于OA=OB,所以∠BAC=∠OBA,所以∠EBC=∠OBA,从而可知∠EBC+∠CBO=∠OBA+∠CBO=90°,所以BE是⊙O的切线;
(3)易证:△EBC≌△FBC(AAS),所以CF=CE=1,由(1)可知:AF=DE=1+3=4,所以AC=CF+AF=1+4=5,利用锐角三角函数的定义即可求出答案.
【解答】解:(1)过点B作BF⊥AC于点F,
在△ABF与△DBE中,

∴△ABF≌△DBE(AAS)
∴BF=BE,
∵BE⊥DC,BF⊥AC,
∴∠1=∠BCE
(2)连接OB,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,即∠1+∠BAC=90°,
∵∠BCE+∠EBC=90°,且∠1=∠BCE,
∴∠BAC=∠EBC
∵OA=OB,
∴∠BAC=∠OBA,
∴∠EBC=∠OBA,
∴∠EBC+∠CBO=∠OBA+∠CBO=90°,
∴BE是⊙O的切线
(3)由(2)可知:∠EBC=∠CBF=∠BAC,
在△EBC与△FBC中,

∴△EBC≌△FBC(AAS)
∴CF=CE=1
由(1)可知:AF=DE=1+3=4,
∴AC=CF+AF=1+4=5,
∴cos∠DBA=cos∠DCA==


【点评】本题考查圆的综合问题,涉及圆的切线性质与判定,全等三角形的性质与判定,锐角三角函数的定义等知识,综合程度较高,需要学生综合运用知识.
 
24.
【考点】FH:一次函数的应用。
【分析】(1)由图可看出,乙车所行路程y与时间x的成一次函数,使用待定系数法可求得一次函数关系式;
(2)由图可得,交点F表示第二次相遇,F点横坐标为6,代入(1)中的函数即可求得距出发地的路程;
(3)交点P表示第一次相遇,即甲车故障停车检修时相遇,点P的横坐标表示时间,纵坐标表示离出发地的距离,要求时间,则需要把点P的纵坐标先求出;从图中看出,点P的纵坐标与点B的纵坐标相等,而点B在线段BC上,BC对应的函数关系可通过待定系数法求解,点B的横坐标已知,则纵坐标可求.
【解答】解:(1)设乙车所行使路程y与时间x的函数关系式为y=k1x+b1,
把(2,0)和(10,480)代入,得,
解得:,
故y与x的函数关系式为y=60x﹣120;

(2)由图可得,交点F表示第二次相遇,F点的横坐标为6,此时y=60×6=120=240,
则F点坐标为(6,240),
故两车在途中第二次相遇时它们距出发地的路程为240千米;

(3)设线段BC对应的函数关系式为y=k2x+b2,
把(6,240)、(8,480)代入,
得,
解得,
故y与x的函数关系式为y=120x﹣480,
则当x=4.5时,y=120×4.5﹣480=60.
可得:点B的纵坐标为60,
∵AB表示因故停车检修,
∴交点P的纵坐标为60,
把y=60代入y=60x﹣120中,
有60=60x﹣120,
解得x=3,
则交点P的坐标为(3,60),
∵交点P表示第一次相遇,
∴乙车出发3﹣2=1小时,两车在途中第一次相遇.
【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式,并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力,是道综合性较强的代数应用题,对学生能力要求比较高.
 
25.
【考点】LE:正方形的性质;KD:全等三角形的判定与性质;KQ:勾股定理;LI:直角梯形.
【分析】(1)由四边形是ABCD正方形,易证得△CBE≌△CDF(SAS),即可得CE=CF;
(2)首先延长AD至F,使DF=BE,连接CF,由(1)知△CBE≌△CDF,易证得∠ECF=∠BCD=90°,又由∠GCE=45°,可得∠GCF=∠GCE=45°,即可证得△ECG≌△FCG,继而可得GE=BE+GD;
(3)首先过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,易证得四边形ABCG为正方形,由(1)(2)可知,ED=BE+DG,即可求得DG的长,设AB=x,在Rt△AED中,由勾股定理DE2=AD2+AE2,可得方程,解方程即可求得AB的长,继而求得直角梯形ABCD的面积.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠B=∠CDF=90°,
∵∠ADC=90°,
∴∠FDC=90°.
∴∠B=∠FDC,
∵BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS).
∴CE=CF.  

(2)证明:如图2,延长AD至F,使DF=BE,连接CF.
由(1)知△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即∠ECF=∠BCD=90°,
又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG.
∴GE=GF,
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.  

(3)解:如图3,过C作CG⊥AD,交AD延长线于G.
在直角梯形ABCD中,
∵AD∥BC,
∴∠A=∠B=90°,
又∵∠CGA=90°,AB=BC,
∴四边形ABCG为正方形.
∴AG=BC.…(7分)
∵∠DCE=45°,
根据(1)(2)可知,ED=BE+DG.…(8分)
∴10=4+DG,
即DG=6.
设AB=x,则AE=x﹣4,AD=x﹣6,
在Rt△AED中,
∵DE2=AD2+AE2,即102=(x﹣6)2+(x﹣4)2.
解这个方程,得:x=12或x=﹣2(舍去).…(9分)
∴AB=12.
∴S梯形ABCD=(AD+BC)•AB=×(6+12)×12=108.
即梯形ABCD的面积为108.…(10分)

【点评】此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度较大,注意掌握辅助线的作法是解此题的关键,注意数形结合思想与方程思想的应用.
 
26.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)可设顶点式,把原点坐标代入可求得抛物线解析式,联立直线与抛物线解析式,可求得C点坐标;
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,与x轴交于D,得到y=2x﹣1,求得BD=2﹣=于是得到结论;
(3)设出N点坐标,可表示出M点坐标,从而可表示出MN、ON的长度,当△MON和△ABC相似时,利用三角形相似的性质可得=或=,可求得N点的坐标.
【解答】解:(1)∵顶点坐标为(1,1),
∴设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+1,
又抛物线过原点,
∴0=a(0﹣1)2+1,解得a=﹣1,
∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+1,
即y=﹣x2+2x,
联立抛物线和直线解析式可得,
解得或,
∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,与x轴交于D,
把A(1,1),C(﹣1,﹣3)的坐标代入得,
解得:,
∴y=2x﹣1,
当y=0,即2x﹣1=0,
解得:x=,
∴D(,0),
∴BD=2﹣=
∴△ABC的面积=S△ABD+S△BCD=××1+××3=3;

(3)假设存在满足条件的点N,设N(x,0),则M(x,﹣x2+2x),
∴ON=|x|,MN=|﹣x2+2x|,
由(2)知,AB=,BC=3,
∵MN⊥x轴于点N,
∴∠ABC=∠MNO=90°,
∴当△ABC和△MNO相似时,有=或=,
①当=时,
∴=,即|x||﹣x+2|=|x|,
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形,
∴x≠0,
∴|﹣x+2|=,
∴﹣x+2=±,解得x=或x=,
此时N点坐标为(,0)或(,0);
②当或=,时,
∴=,
即|x||﹣x+2|=3|x|,
∴|﹣x+2|=3,
∴﹣x+2=±3,
解得x=5或x=﹣1,
此时N点坐标为(﹣1,0)或(5,0),
综上可知存在满足条件的N点,其坐标为(,0)或(,0)或(﹣1,0)或(5,0).
【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等.在(1)中注意顶点式的运用,在(3)中设出N、M的坐标,利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键,注意相似三角形点的对应.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中.
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