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益阳体彩:八年级数学下《第十七章勾股定理》单元测试卷(人教版含答案)

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《勾股定理》单元提升测试卷
一.选择题
1.以下列各组数为三角形的三边,能构成直角三角形的是( ?。?br />A.4,5,6    B.1,1,    C.6,8,11    D.5,12,23
2.一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多2cm,另一条直角边长6cm,那么这个直角三角形的斜边长为( ?。?br />A.4cm    B.8cm    C.10cm    D.12cm
3.如图所示,一根树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离底部12米处.树折断之前( ?。┟祝?br />
A.15    B.20    C.3    D.24
4.如图,AD⊥CD,CD=4,AD=3,∠ACB=90°,AB=13,则BC的长是( ?。?br />
A.8    B.10    C.12    D.16
5.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是( ?。?br />A.如果∠A﹣∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形    
B.如果a2=b2﹣c2,那么△ABC是直角三角形且∠C=90°    
C.如果∠A:∠B:∠C=1:3:2,那么△ABC是直角三角形    
D.如果a2:b2:c2=9:16:25,那么△ABC是直角三角形
6.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( ?。?br />A.∠A+∠C=∠B    B.a=,b=,c=    
C.(b+a)(b﹣a)=c2    D.∠A:∠B:∠C=5:3:2
7.如图,在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面3尺.突然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为6尺,则水是( ?。┏撸?br />
A.3.5    B.4    C.4.5    D.5
8.如图,是一扇高为2m,宽为1.5m的门框,现有3块薄木板,尺寸如下:①号木板长3m,宽2.7m;②号木板长4m,宽2.4m;③号木板长2.8m,宽2.8m.可以从这扇门通过的木板是( ?。?br />
A.①号    B.②号    C.③号    D.均不能通过
9.如图:在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=5,则CE2+CF2等于( ?。?br />
A.75    B.100    C.120    D.125
10.某一实验装置的截面图如图所示,上方装置可看做一长方形,其侧面与水平线的夹角为45°,下方是一个直径为70cm,高为100cm的圆柱形容器,若使容器中的液面与上方装置相接触,则容器中液体的高度至少应为( ?。?br />
A.30cm    B.35cm    C.35cm    D.65cm
二.填空题
11.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=15,DA=5,则BD的长为    ?。?br />
12.如图,一架长5米的梯子A1B1斜靠在墙A1C上,B1到墙底端C的距离为3米,此时梯子的高度达不到工作要求,因此把梯子的B1端向墙的方向移动了1.6米到B处,此时梯子的高度达到工作要求,那么梯子的A1端向上移动了     米.

13.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,AD=7,则点D到直线AB的距离是    ?。?br />
14.如图,三角形ABC三边的长分别为AB=m2﹣n2,AC=2mn,BC=m2+n2,其中m、n都是正整数.以AB、AC、BC为边分别向外画正方形,面积分别为S1、S2、S3,那么S1、S2、S3之间的数量关系为    ?。?br />
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,则△BED的周长为    ?。?br />
16.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,D点从A出发以每秒1cm的速度向B点运动,当D点运动到AC的中垂线上时,运动时间为     秒.

17.如图,图中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,已知正方形A,B,C,D的边长分别是6,8,3,4,则最大正方形E的面积是    ?。?br />
三.解答题
18.在△ABC中,CD是AB边上的高,AC=4,BC=3,DB=1.8.
(1)求CD的长;
(2)求AB的长;
(3)△ABC是直角三角形吗?请说明理由.

19.阅读下列一段文字:在直角坐标系中,已知两点的坐标是M(x1,y1),N(x2,y2)),M,N两点之间的距离可以用公式MN=计算.解答下列问题:
(1)若点P(2,4),Q(﹣3,﹣8),求P,Q两点间的距离;
(2)若点A(1,2),B(4,﹣2),点O是坐标原点,判断△AOB是什么三角形,并说明理由.
20.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,AB=6m,点P在线段AC上以1cm/s的速度由点C向点A运动,同时,点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,设运动时间为t(s).
(1)当t=1时,判断△APQ的形状,并说明理由;
(2)当t为何值时,△APQ与△CQP全等?请写出证明过程.

21.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路?(即问:CH与AB是否垂直?)请通过计算加以说明;
(2)求原来的路线AC的长.

22.如图,已知AD=4,CD=3,BC=12,AB=13,∠ADC=90°,求四边形ABCD的面积.

23.交通安全是社会关注的热点问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验.如图,先在笔直的公路1旁选取一点P,在公路1上确定点O、B,使得PO⊥l,PO=100米,∠PBO=45°.这时,一辆轿车在公路1上由B向A匀速驶来,测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒,并测得∠APO=60°.此路段限速每小时80千米,试判断此车是否超速?请说明理由(参考数据:=1.41,=1.73). 

参考答案
一.选择题
1.解:A、42+52≠62,故不是直角三角形,故此选项错误;
B、12+12=()2,故是直角三角形,故此选项正确;
C、62+82≠112,故不是直角三角形,故此选项错误;
D、52+122≠232,故不是直角三角形,故此选项错误.
故?。築.
2.解:设直角三角形的斜边是xcm,则另一条直角边是(x﹣2)cm.
根据勾股定理,得
(x﹣2)2+36=x2,
解得:x=10.
则斜边的长是10cm.
故?。篊.
3.解:因为AB=9米,AC=12米,
根据勾股定理得BC==15米,
于是折断前树的高度是15+9=24米.
故?。篋.

4.解:∵AD⊥CD,CD=4,AD=3,
∴AC==5,
∵∠ACB=90°,AB=13,
∴BC==12.
故?。篊.
5.解:如果∠A﹣∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形,A正确;
如果a2=b2﹣c2,那么△ABC是直角三角形且∠B=90°,B错误;
如果∠A:∠B:∠C=1:3:2,
设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,
则x+3x+2x=180°,
解得,x=30°,
则3x=90°,
那么△ABC是直角三角形,C正确;
如果a2:b2:c2=9:16:25,
则如果a2+b2=c2,
那么△ABC是直角三角形,D正确;
故?。築.
6.A、∵∠A+∠C=∠B,
∴∠B=90°,
故是直角三角形,正确;
B、∵()2+()2≠()2,
故不能判定是直角三角形;
C、∵(b+a)(b﹣a)=c2,
∴b2﹣a2=c2,
即a2+c2=b2,
故是直角三角形,正确;
D、∵∠A:∠B:∠C=5:3:2,
∴∠A=×180°=90°,
故是直角三角形,正确.
故?。築.
7.解:红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长.
设水深h尺,由题意得:
Rt△ABC中,AB=h,AC=h+3,BC=6,
由勾股定理得:AC2=AB2+BC2,
即(h+3)2=h2+62,
解得:h=4.5.
故?。篊.

8.解:由题意可得:门框的对角线长为:=2.5(m),
∵①号木板长3m,宽2.7m,2.7>2.5,
∴①号不能从这扇门通过;
∵②号木板长4m,宽2.4m,2.4<2.5,
∴②号可以从这扇门通过;
∵③号木板长2.8m,宽2.8m,2.8>2.5,
∴③号不能从这扇门通过.
故?。築.
9.解:∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠ACE=∠ACB,∠ACF=∠ACD,即∠ECF=(∠ACB+∠ACD)=90°,
∴△EFC为直角三角形,
又∵EF∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM,∠DCF=∠CFM=∠MCF,
∴CM=EM=MF=5,EF=10,
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100.
故?。築.
10.解:如图,∵圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°,∠BCA=90°,
∴依题意得△ABC是一个斜边为70cm的等腰直角三角形,
∴此三角形中斜边上的高应该为35cm,
∴水深至少应为100﹣35=65cm.
故?。篋.

二.填空题(共7小题)
11.解:作DM⊥BC,交BC延长线于M,连接AC,如图所示:
则∠M=90°,
∴∠DCM+∠CDM=90°,
∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴AC2=AB2+BC2=25,
∵CD=15,AD=5,
∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°,
∴∠ACB+∠DCM=90°,
∴∠ACB=∠CDM,
∵∠ABC=∠M=90°,
∴△ABC∽△CMD,
∴===,
∴CM=3AB=9,DM=3BC=12,
∴BM=BC+CM=13,
∴BD===,
故答案为:.

12.解:在Rt△ABO中,根据勾股定理知,A1O==4(m),
在Rt△ABO中,由题意可得:BO=1.4(m),
根据勾股定理知,AO==4.8(m),
所以AA1=AO﹣A1O=0.8(米).
故答案为:0.8.

13.解:作DE⊥AB于E,
∵∠C=90°,AC=6,AD=7,
∴CD==,
∵AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,
∴DE=DC=.
故答案为:.

14.解:∵AB=m2﹣n2,AC=2mn,BC=m2+n2,
∴AB2+AC2=BC2,
∴△ABC是直角三角形,
设Rt△ABC的三边分别为a、b、c,
∴S1=c2,S2=b2,S3=a2,
∵△ABC是直角三角形,
∴b2+c2=a2,即S1+S2=S3.
故答案为:S1+S2=S3.
15.解:∵∠C=90°,AB=10,BC=8,
∴由勾股定理可得,Rt△ABC中,AC=6,
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,∠C=90°,AD=AD,
∴△ADE≌△ADC(AAS),
∴CD=ED,AE=AC=6,
又∵AB=10,
∴BE=4,
∴△BED的周长=BD+CD+BE=BD+CD+BE=BC+BE=8+4=12,
故答案为:12.
16.解:如图所示:

∵Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,
∴AC=,
∵ED'是AC的中垂线,
∴CE=5,
连接CD',
∴CD'=AD',
在Rt△BCD'中,CD'2=BD'2+BC2,
即AD'2=62+(8﹣AD')2,
解得:AD'=,
∴当D点运动到AC的中垂线上时,运动时间为秒,
故答案为:
17.解:根据勾股定理的几何意义,可知
SE=SF+SG
=SA+SB+SC+SD
=62+82+32+42
=125;
故答案为:125.

三.解答题(共6小题)
18.解:(1)∵CD是AB边上的高,
∴△BDC是直角三角形,
∴CD=;
(2)同(1)可知△ADC也是直角三角形,
∴AD=,
∴AB=AD+BD=3.2+1.8=5;
(3)△ABC是直角三角形,理由如下:
又∵AC=4,BC=3,AB=5,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形.
19.解:(1)P,Q两点间的距离==13;
(2)△AOB是直角三角形,
理由如下:AO2=(1﹣0)2+(2﹣0)2=5,
BO2=(4﹣0)2+(﹣2﹣0)2=20,
AB2=(4﹣1)2+(﹣2﹣2)2=25,
则AO2+BO2=AB2,
∴△AOB是直角三角形.
20.解:(1)△APQ是等边三角形,
理由是:∵t=1,
∴AP=3﹣1×1=2,AQ=2×1=2,
∴AP=AQ,
∵∠A=60°,
∴△APQ是等边三角形;

(2)存在t,使△APQ和△CPQ全等.当t=1.5s时,△APQ和△CPQ全等.
理由如下:∵在Rt△ACB中,AB=6,AC=3,
∴∠B=30°,∠A=60°,
当t=1.5,此时AP=PC时,
∵t=1.5s,
∴AP=CP=1.5cm,
∵AQ=3cm,
∴AQ=AC.
又∵∠A=60°,
∴△ACQ是等边三角形,
∴AQ=CQ,
在△APQ和△CPQ中,
,
∴△APQ≌△CPQ(SSS);
即存在时间t,使△APQ和△CPQ全等,时间t=1.5;

21.解:(1)是,
理由是:在△CHB中,
∵CH2+BH2=(2.4)2+(1.8)2=9
BC2=9
∴CH2+BH2=BC2
∴CH⊥AB,
所以CH是从村庄C到河边的最近路
(2)设AC=x
在Rt△ACH中,由已知得AC=x,AH=x﹣1.8,CH=2.4
由勾股定理得:AC2=AH2+CH2
∴x2=(x﹣1.8)2+(2.4)2
解这个方程,得x=2.5,
答:原来的路线AC的长为2.5千米.
22.解:如图,连接AC,
∵AD=4,CD=3,∠ADC=90°,
∴AC=5,
△ACD的面积=6,
在△ABC中,∵AC=5,BC=12,AB=13,
∴AC2+BC2=AB2,
即△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,
∴直角△ABC的面积=30,
∴四边形ABCD的面积=30﹣6=24.

23.解:此车超速,
理由:∵∠POB=90°,∠PBO=45°,
∴△POB是等腰直角三角形,
∴OB=OP=100米,
∵∠APO=60°,
∴OA=OP=100≈173米,
∴AB=OA﹣OB=73米,
∴≈24米/秒≈86千米/小时>80千米/小时,
∴此车超速.
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